Cumartesi, Mayıs 15, 2021
Ana Sayfa Bilim ve Teknoloji Rastgele Bir Sayı Neden 0'a Parçalanamaz?

Rastgele Bir Sayı Neden 0’a Parçalanamaz?

Matematik başlı başına enteresan bir bilim kısmı, zira tabiatın en kadim gizemlerine ışık tutuyor. Kimine nazaran sıkıntı kimine nazaran ise epeyce eğlenceli bir ders olan matematikte sıfır sayısının da özel bir yeri var. Çünkü akıldan çıkmayan matematik kurallardan biri de bir sayıyı sıfıra bölemeyeceğinizdir.

Gerçek sayılarda, yani sayı doğrusundaki bütün sayılar kümesinde bir sayının sıfır ile kısmı bize okullarda tanımsız diye öğretildi. Pekala neden bir sayıyı sıfıra bölerseniz sonuç tanımsız olur hiç merak ettiniz mi? Gelin isterseniz bu sorunun karşılığına birlikte bakalım.

Bir sayı neden 0’a ayrılamaz?

Rastgele bir gerçek sayının sıfıra kısmı tanımsızdır. Bölme sürecinde sıfır ile kısım tarifli değildir. Ayrıyeten sonsuz da değildir. Kısmın sonucu müspet sonsuz ya da negatif sonsuz olabilir. İki sonsuz da bir gerçek sayı belirtmez, hasebiyle kesin olarak söyleyebiliriz ki, sayı bölü sıfır tanımsızdır. 

Mesela 10 sayısını sıfıra böldüğünüzde elinize ne geçtiğini düşünmek için; 10’u 5’e bölmekle başlayalım. Bu sürecin yanıtı 2 olur. Pekala ya 10’u daha ufak bir sayıyla, 2’yle bölseydiniz ne olurdu? Daha büyük bir sayı olan 5’i elde ederdiniz. Pekala ya 10’un 1’e bölünmesi? 

Tekrar daha büyük bir sayı çıkar. 10. ½’ye bölünen 10, 20 eder. ¼’e bölündüğü vakit 40; 1/32’e bölündüğü vakitse 320 yapar. Ne vakit daha ufak bir sayıya bölseniz, karşılığında daha büyük bir sayı elde edersiniz. Yani, bölen sayı 0’a ne kadar yaklaşırsa; yanıtınız o kadar sonsuzluğa yaklaşır. Bu yüzden aslında 10’u 0’a bölseydiniz, sonsuzluk elde ederdiniz değil mi?

Bu süreçte bir sonuç almak ismine yanlızca limit alabilirsiniz. (Sayı / X), x giderken sıfıra halinde ve bu işlevin davranışını inceleyebilirsiniz. Fakat burada da karşımıza tek bir limit kıymeti çıkmaz, zira limitler sağdan ve soldan farklıdır.Sıfıra sağdan yaklaşırken, işlevin pahası olumlu olarak sonsuza hakikat masraf. Sonsuz bir kısaltmadır, manası ise, sonucun rastgele bir X gerçek sayısından yüksek olduğu, daima büyüdüğü ve münasebetiyle hiçbir vakit muhakkak olmadığıdır. Tek söyleyebileceğiniz, istediğiniz her gerçek sayıdan büyük bir sonuç elde edebileceğinizdir. 

Sıfıra soldan yaklaşırken ise, durum negatif tarafta birebirdir. Sayı mutlak pahaca çok büyür fakat negatifdir, münasebetiyle küçülür. Belirleyebileceğiniz rastgele bir negatif gerçek sayıdan daha küçük bir sayıdır, münasebetiyle eksi sonsuzdur denir. Söylediğimiz üzere, X/0’ın hiçbir bedeli yoktur, tarifli bir süreç değildir. Sıfır ile asla bölme yapamazsınız.

Aslında sonsuz da gerçek sayılar kümesinde tarifli bir sayı olmadığından, kesin olarak tanımsızdır. Sıfır bölü sıfır, bir üzeri sonsuz, sonsuz bölü sonsuz, sonsuz eksi sonsuz birer belirsizliktir. Tanımsız değildir. Bu süreçleri yapabilmek için belirsizliğe neden olan durumu ortadan kaldırıp sonucu bulabiliriz.

Sıfıra bölme süreci, karşılığını bulamadığınız bir süreçtir, bu nedenle sürecin sonucu tanımsızdır. Bölme ve çarpmanın birbiriyle ortasındaki alakaya bakacak olursak nedenini anlayabilirsiniz. 6’yı 3’e bölerseniz, yanıt 2’dir, zira 2 çarpı 3 = 6 olur. 6’yı sıfıra bölerseniz, “Sıfır çarpı 6’yı hangi sayı verir?” Sorusunu sorarsınız. Bunun yanıtı elbette bir sayı değildir, zira rastgele bir gerçek sayının sıfır çarpı sıfırın 6 olmadığını biliyoruz. Bu yüzden sıfıra bölmenin tanımsız olduğunu söylüyoruz, zira başka sayılarla bölme tutarlı değildir.

Riemann Küresi ve Stereografik Yansıtma

Düşünün ki, tüm istikametlerde sonsuzluğa giden ve ortada bir merkezi bulunmayan iki boyutlu bir düzlem var. Artık bu düzlemi büküp küreye çevirdiğinizi ve sıfırın güney kutbu olduğunu, köşelerin de en dorukta; kuzey kutbu olan yerde birleştiğini hayal edin. Şimdi, bir öteki sonsuz iki boyutlu düzlem alın ve onu ekvatoru kesecek şekilde yerleştirin. Bu düzlem üzerinde seçtiğiniz rastgele bir nokta, kürenin Kuzey Kutbu’na düz bir çizgiyle bağlanabilir. Şayet seçtiğiniz nokta, kürenin dışındaysa; temas çizgisi küreyle kuzey yarımkürede kesisecek. Şayet kürenin içerisindeyse, güney yarımkürede kesisecek.

Hayal ettiğiniz şey, bir Riemann Küresi. Düzlemdeki her noktayı, küredeki bir kesişim noktasıyla ilişkilendirmeyi kapsayan bu yönteme stereografik yansıtma deniyor. Temel olarak, düzlem üzerinde bulabileceğiniz rastgele bir noktayı küre üzerinde bulabilirsiniz. Buna sonsuzluk da dahil. Düzlemde sonsuzluğa ne kadar yaklaşırsanız, kürenin Kuzey Kutbu’na da o kadar yaklaşırsınız.

Öbür bir örnekle açıklayacak olursak;

Portakallara elma eklerseniz ne olur? Elbette bir mana tabir etmiyor, bu yüzden en kolay şey, mantıklı olmadığını yahut bir matematikçinin dediği üzere, “tanımsız” olduğunu söylemektir. Belki de ona bakmanın en uygun yolu budur. Matematikte, “XYZ süreci tanımsız” üzere bir tabir gördüğünüzde, bunu başınızda “XYZ süreci bir mana söz etmiyor” biçiminde düşünebilirsiniz.

Bunu düşünmenin öbür bir yolu da bir kutuyu elmalarla doldurmayı hayal etmektir. Bir kutuda 100 elma olduğunu varsayalım. Artık bu elmaların yarısı büyüklüğündeki elmalarla doldurmayı deneyin. Kutuya 200 tane elma koyabilirsiniz. Artık hiç yer kaplamayan özel, sihirli bir elma hayal edin. Kutuya kaç tane koyabilirsiniz?

Bu sürecin rastgele bir karşılığı yok. Bu nedenle matematikçiler 0’a bölünen sayıları “tanımsız” olarak isimlendirir. Birtakım araştırmacılar bu süreci sonsuz olarak görme eğilimindedir, lakin bu işlem tam olarak gerçek değildir. Öncelikle bir sayının sıfıra kısmı birinci bakışta sonsuz üzere düşünülebilir. Zira bölen sayı küçüldükçe sonuç büyür. Örneğin 10 sayısını her adımda daha küçük sayılara bölersek sonucun büyüdüğünü görürüz.

  • 10 / Bölen Sayı = Sonuç
  • 10 / 1 = 10
  • 10 / 0,1 = 100
  • 10 / 0,01 = 1000
  • 10 / 0,001 = 10000
  • 10 / 0,0001 = 100000
  • 10 / 0,00001 = 1000000
  • 10 / 0,000001 = 10000000
  • Bağıntı = 10/x = y

Gördüğünüz üzere bölen sayı ne kadar küçük olursa sonuç o kadar büyük olmaktadır. Yani bölen sayı sıfıra yaklaştıkça sonuç da sonsuza yaklaşmaktadır. O halde bir sayının sıfıra kısmı sonsuz olmalıdır.

Bu durumun neden hakikat olmadığını anlamak için öncelikle bölme sürecinin ne tabir ettiğini bilmemiz gerekir. Örneğin 10 sayısını 2 sayısına böldüğümüzde sonuç 5 çıkar. Bu süreç bize 10’un içinde kaç tane 2 olduğunu gösterir. Ayrıyeten bölme süreci matematiksel olarak çarpma sürecinin zıddıdır. Bölme ve çarpma süreçlerinin sonucunu birbirine eşit olacak formda düzenlersek çarpımsal aksi kavramı ortaya çıkar.

  • 10 / 5 = 2 = 10 x 1/5
  • 10 / 2 = 5 = 10 x 1/2
  • 10/a = 10 x 1/a

Süreçlerdeki 1/a sayısına çarpımsal karşıt denir. birinci süreçte 5’in çarpımsal zıddı 1/5, ikinci süreçte 2’nin çarpımsal zıddı 1/2’dir. Yani bir sayının çarpımsal aksisi 1’in bu sayıya kısmıdır (a’nın çarpımsal karşıtı 1/a ‘dır). Pekala çarpımsal aksi ne işimize yarayacak? Bir sayının çarpımsal zıddı ile çarpımı sürekli 1 sonucunu verir.

  • Sayı x Çarpımsal Karşıt = 1
  • 5 x 1/5 =1
  • 2 x 1/2 = 1
  • 4000 x 1/4000 = 1
  • a x 1/a = 1

Bu durumda sıfırın çarpımsal aksisi 1/0 olmalı ve çarpımsal aykırısı ile çarpımı da 1’i vermelidir (0 x 1/0 = 1). İşte sorun burada ortaya çıkar. Zira bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Bu nedenle sıfırın çarpımsal aykırısı yoktur. Yani 1/0 tanımsızdır. Sayıların sıfıra kısım süreçlerini çarpım olarak yazarsak

  • 5/0 = 5 x 1/0
  • 10/0 = 10 x 1/0
  • -3/0 = -3 x 1/0

1/0 tanımsız olduğu için bütün sonuçlar tanımsızdır. Yani bir sayının sıfıra kısmı tanımsızdır. Birinci kısımda bahsettiğim ve mantıklı üzere görünen 1/0 = Sonsuz niyeti hala mantıklı üzere gelebilir. Lakin bu durum negatif sayılar için de birebir sonucu vermektedir. Bir sayıyı sıfıra yaklaşan negatif sayılara böldüğümüzde sonuç eksi sonsuza yaklaşır.

  • 10 / Negatif Bölen Sayı = Sonuç
  • 10 / -1 = -10
  • 10 / -0,1 = -100
  • 10 / -0,01 = -1000
  • 10 / -0,001 = -10000
  • 10 / -0,0001 = -100000
  • 10 /- 0,00001 = -1000000
  • 10 /- 0,000001 = -10000000
  • Bağıntı = 10/-x = -y 

Bu nedenle 1/0 sonucu sonsuz ise 1/-0 sonucu da eksi sonsuz olmalıdır. Sıfır nötr bir sayı olduğundan 1/0 için hem artı sonsuz hem de eksi sonsuz sonuçları ortaya çıkar. Artı sonsuz ile eksi sonsuz birbirine eşit olmadığından bu niyetin yanlış olduğu görülür.

Bütün bu süreçler başınızı karıştırdıysa kolay bir mantık üzerinden gidelim. Evvelki kısımlarda bahsettiğim üzere örneğin 10/5 süreci 10’un içinde kaç tane 5 olduğunu gösterir. Buna nazaran 10/0 süreci 10’nun içinde kaç tane sıfır olduğunu göstermelidir. 10’un içinde kaç tane sıfır vardır? 1, 10, sonsuz… bilmiyoruz zira sonuç matematiksel olarak tanımlanmamıştır. Bu nedenle bir sayıyı sıfıra bölersek sonuç tanımsızdır.

Bu yazımızda sizlerle bir sayının neden sıfıra bölünemediğini tüm ayrıntılarıyla açıklamaya çalıştık. Meraklıları için yararlı olduğunu düşündüğümüz bu yazıda, bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde neler olur, sonuç tanımsız mı yoksa sonsuz mu sorularına karşılık aradık. Bir sonraki yazımızda buluşuncaya dek sağlıcakla kalın.

CEVAP VER

Lütfen yorum yazınız
Lütfen isminizi giriniz

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Most Popular

Sakinleşmek İçin Yoga Hareketleri

Daha sakin bir hayat sürebilmek için çeşitli yoga hareketleri bulunuyor. Hem vücudumuzun esnemesine yardımcı olurken hem de daha sakin bir çeşitli yoga...

Verimliliği Nasıl Artırabiliriz?

Engellilik ya da çok ciddi bir sağlık sorunu olmadıkça her insanın günlük yaşamında rutin olarak yapmakta olduğu aktiviteler var. Temel gereksinimlerini gidermesinin...

Zerdeçalın Faydaları

Zencefilgiller ailesinin içerisinde yer alan zerdeçal pek çok faydası ile ön plana çıkıyor. Özellikle gribal enfeksiyonlarda tüketilmesi gereken ürünler arasında yer alıyor....

Yetersiz Beslenmenin Belirtileri

Vücut sağlığını koruyabilmek adına yeterli ve düzenli olarak beslenmek gerekiyor. Ve vücudumuzda meydana gelen pek çok sorun yetersiz beslenmeden kaynaklı olarak ortaya...

Recent Comments